经典比特
点它切换。无论何时看，它都只有一个确定的值。
第 1 课 · 起点
从开关到旋转的硬币
普通电脑里的一切，照片、文字、视频，最终都存成一长串 0 和 1。每一位叫一个比特（bit）。比特就像一个开关：要么关（0），要么开（1），任何时刻都是确定的。
量子计算机的基本单位叫量子比特（qubit）。先打个比方：它像一枚在桌上旋转的硬币。转着的时候，说不清它是正面还是反面，它同时带着两面的成分；只有拍下去看一眼，它才变成确定的一面。这个“看一眼”，在量子力学里叫测量。
实验 1比特和量子比特，各点一下
量子比特（比喻）
?
旋转时同时带着 0 和 1 的成分。测量后才倒成确定的一面。
硬币正在旋转：此刻它既不是 0，也不是 1。
这个比喻哪里不准
真实的旋转硬币，每一刻其实都有确定的朝向，只是我们没看清。量子比特不一样：在测量之前，它确实没有确定的 0 或 1，这不是“我们不知道”，而是“它本来就没定”。
更重要的是，量子比特的两种成分带有正负号，正负可以互相抵消，硬币完全没有这种性质。第 5 课会看到，这正是量子计算的力量来源。所以硬币只是帮你入门，下一课换一种更准确的画法。
要点
比特任何时刻只有一个确定的值。量子比特在测量前可以同时带有 0 和 1 的成分，测量时才变成确定的 0 或 1。
第 2 课 · 更准确的画法
叠加：把量子比特画成一根箭头
画一个圆，从圆心伸出一根长度为 1 的箭头。规定：箭头朝右，代表确定的 |0⟩；箭头朝上，代表确定的 |1⟩。
符号 | ⟩ 只是一个标签，表示“这是一个量子状态”，|0⟩ 读作“状态 0”就行。
箭头斜着指，就是 0 和 1 的叠加。给箭头打两束光，它在横轴上的影子长度记作 a，在竖轴上的影子长度记作 b。这两个数叫振幅。于是状态可以写成：
|ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩
意思就是“含有 a 份的 0 和 b 份的 1”（|ψ⟩ 读作“psi”，是状态的名字）。
实验 2拖动箭头，看两个影子怎么变
振幅数值平方
a
b
a² + b² = 1.00，无论角度怎么变，永远是 1
为什么 a² + b² 总等于 1？看图：两个影子和箭头正好围成一个直角三角形，箭头是斜边，长度为 1。这就是勾股定理。这个“平方和等于 1”马上会在下一课派上大用场。
这根箭头也不完全是比喻。光子（光的最小单位）的偏振方向就可以这样画：水平偏振当作 |0⟩，竖直偏振当作 |1⟩，斜着 45° 的偏振就是两者等量的叠加。
要点
量子比特的状态 = 一根长度为 1 的箭头。它在两个方向上的影子 a、b 叫振幅，总满足 a² + b² = 1。箭头斜着就是叠加。
第 3 课 · 怎么读出结果
测量：箭头倒向一边
箭头本身是看不见的。我们能做的只有测量，而一次测量只会给出一个答案：0 或 1。
结果是随机的，但概率由箭头决定。得到 0 的概率是 a²，得到 1 的概率是 b²。上一课的 a² + b² = 1，正好保证两个概率加起来是 100%。这条规则叫玻恩规则。
测量会改变状态。测完之后，箭头不再斜着，而是直接倒在得到的那根轴上，这叫塌缩。原来的 a 和 b 就此丢失，之后再测多少次，都只会得到同一个结果。
拿光子来说：测量就像让它穿过一片水平方向的偏振片，穿过去记为 0，被挡住记为 1。45° 偏振的光子，有一半机会穿过去；而穿过去的光子，偏振就变成了水平，这就是塌缩。
实验 3准备一个量子比特，然后测量它
拖动滑块准备一个量子比特，再试试测量。
那怎么才能知道一根箭头原来的角度？只能把同样的量子比特重新准备很多份，每份测一次，看 0 和 1 各占多少。注意是重新准备，而不是复制：量子力学不允许把一个未知的量子状态原样复制一份，这叫不可克隆定理。
试一试：拖到 45°，准备 100 个，大约一半 0、一半 1。拖到 30°，0 的概率是 75%。拖到 0°，永远是 0，这时叠加消失，量子比特就和普通比特一样了。
要点
测量只给出 0 或 1，概率是振幅的平方。测完箭头塌缩，原来的振幅信息丢失。要了解一个状态，只能反复准备、反复测量，看统计结果。
第 4 课 · 怎么改变量子比特
量子门：对着镜子翻转箭头
普通电脑用“与”“或”“非”这样的逻辑门改变比特。量子计算机用量子门改变量子比特，在我们的图里，就是让箭头换个方向。量子门有两条规矩：
箭头长度始终是 1。否则概率加起来就不是 100% 了。
每一步都能倒着做回去。量子门不会丢失信息（会丢信息的是测量）。
先认识一个新情况：箭头也可以指向左边或下面。这时振幅是负数，比如 −0.71。负号不影响概率，因为 (−0.71)² 和 0.71² 一样都是 0.5。看起来负号没用，但它是下一课的主角。
最常用的三个量子门，在这张图里恰好都像一面镜子：箭头以红色虚线为镜面，翻到对面去。
X
X 门（翻面）：把 |0⟩ 和 |1⟩ 对调，相当于经典的“非”门。镜子是 45° 斜线。
Z
Z 门（改符号）：把 |1⟩ 那一份的振幅变号，0.71 变成 −0.71。镜子是横轴。它不改变任何概率。
H
H 门（Hadamard 门，对半分）：把 |0⟩ 变成 0.71|0⟩ + 0.71|1⟩，把 |1⟩ 变成 0.71|0⟩ − 0.71|1⟩。镜子是 22.5° 斜线。
这里的 0.71 是 1/√2 的近似值，0.71² ≈ 0.5，也就是“一半”。
实验 4按下量子门，看箭头怎么翻
按过的门：（无）
试一试：① 从 |0⟩ 按一次 H，得到一半一半的叠加；再按一次 H，又回到确定的 |0⟩。② 回到 |0⟩，按 H → Z → H，结果变成确定的 |1⟩。Z 明明不改变概率，为什么夹在中间就把结果变了？下一课揭晓。
要点
量子门改变箭头方向但不改变长度，而且可以撤销。X 对调 0 和 1，Z 改变 |1⟩ 的符号，H 制造（或消除）一半一半的叠加。振幅可以是负数。
第 5 课 · 核心窍门
干涉：正负号的抵消
为什么按两次 H 会回到 |0⟩？换个角度看：把 H 门想成一个岔路口，每经过一次，状态就分成“去 |0⟩”和“去 |1⟩”两条路。两次 H，就是两层岔路。
沿着这些路算振幅，只需要两条规则：
沿一条路走，振幅相乘。每过一个 H 门乘 0.71；其中只有“从 |1⟩ 走到 |1⟩”这一种走法要额外乘 −1（这就是上一课 H 门定义里的那个减号）。
几条路到达同一个结果，振幅相加。加完再平方，才是这个结果的概率。
因为振幅能正能负，相加时就有两种情况：同号相加会变大，叫相长干涉；异号相加会抵消，叫相消干涉。这和两列水波相遇一样：波峰叠波峰，浪更高；波峰遇波谷，水面变平。
实验 5两次 H 门的所有路径
正振幅的路负振幅的路（虚线）线上的数 = 走到这里累计的振幅
硬币的比喻在这里彻底失效了。普通的概率只能是正数，几种可能性加在一起只会更大，永远不会抵消。正是“振幅可以为负”这一点，让量子计算机和“随机抛硬币”有了本质区别。
量子算法的核心，就是精心安排这些路径：让通向错误答案的路径互相抵消，让通向正确答案的路径互相加强。最后一测量，正确答案就有很大概率出现。第 8 课会看到一个完整的例子。
要点
振幅沿路径相乘、在终点相加。正负抵消叫相消干涉，同号加强叫相长干涉。量子算法就是靠干涉，把概率集中到正确答案上。
第 6 课 · 从一个到很多个
多个量子比特：数量翻倍再翻倍
两个量子比特放在一起，测量结果可能有 4 种：|00⟩、|01⟩、|10⟩、|11⟩。左边那位是第一个量子比特，右边那位是第二个，比如 |01⟩ 表示“第一个是 0，第二个是 1”。
要完整描述这两个量子比特，就要给这 4 种结果各配一个振幅，规则和单个时一样：平方是概率，所有平方加起来等于 1。
每多一个量子比特，可能的结果就翻一倍：3 个有 8 种，4 个有 16 种，n 个有 2ⁿ 种，振幅也就有 2ⁿ 个。
实验 6拖动滑块，增加量子比特
描述它需要的振幅个数（2ⁿ）
用普通电脑完整存下，约需内存
内存按最直接的存法估算：每个振幅约 16 字节（一般情况下振幅是复数，要存两个小数）。
这就是普通电脑很难模拟量子计算机的原因：每多一个量子比特，要存的数字就翻一倍。几十个量子比特，就足以让最大的超级计算机吃力。
不过要当心一个流行说法：“n 个量子比特能同时计算 2ⁿ 个答案”。振幅确实有 2ⁿ 个，可是第 3 课说过，测量只会给出一个结果，其余的全部丢失。想利用这片巨大的空间，只能靠第 5 课的干涉。
要点
n 个量子比特有 2ⁿ 种可能结果，需要 2ⁿ 个振幅来描述，普通电脑模拟它的代价随 n 指数增长。但测量一次仍然只得到一个结果。
第 7 课 · 多个量子比特之间
纠缠：两个量子比特绑在一起
先学一个新的门：CNOT
前面的门都只作用在一个量子比特上。CNOT（受控非门）作用在两个量子比特上，一个叫控制位 A，一个叫目标位 B。规则很简单：如果 A 是 1，就把 B 翻面；如果 A 是 0，B 不动。
如果 A 是确定的 0 或 1，CNOT 就是个普通的条件开关。有趣的是 A 处在叠加中的时候：A 同时带着 0 和 1 的成分，于是“翻”和“不翻”两种情况同时发生。下面一步一步看。
实验 7a用 H 和 CNOT 制造纠缠
最后的状态 0.71|00⟩ + 0.71|11⟩ 里，只剩“都是 0”和“都是 1”两种可能。它没法拆成“A 自己的一根箭头”加上“B 自己的一根箭头”：单说 A 是什么状态，已经没有意义了。这就是纠缠。
把它们分开，再测量
把这对纠缠的量子比特，一个送到北京，一个送到上海，两边同时测量。和“两枚互不相关的硬币”对比一下：
实验 7b两地同时测量
?
北京的 A?
上海的 B点击测量，看看两边的结果。
纠缠的一对：每一边单独看，都是 50/50 的随机，可两边的结果永远相同。互不相关的两个：四种组合都会出现。
会不会只是事先约好了？
你可能会想：这和把一双手套分装进两个盒子有什么区别？打开一个看到左手，自然知道另一个是右手，结果早在出发前就定了。
只沿同一个方向测量，确实分辨不出来。1964 年，物理学家贝尔想出了检验办法：让两边各自随机换用不同的测量方向（相当于把第 3 课的偏振片转个角度），再统计两边结果的一致程度。任何“事先约好”的方案，这个一致程度都有一个上限；量子力学预言纠缠会超过这个上限。几十年来的实验一次次证实了量子力学的预言，相关实验工作获得了 2022 年诺贝尔物理学奖。
但纠缠不能用来超光速传消息：北京这边看到的永远只是随机的 0 和 1，在和上海对照结果之前，得不到任何信息。它真正的用处，是让很多量子比特协同起来，形成普通比特表达不了的关联。
要点
H 加 CNOT 就能制造纠缠：两个量子比特单独看都随机，合起来看完全相关，而且这种关联无法用“事先约好”来解释。纠缠不能传递信息。
第 8 课 · 把前面的拼起来
一个完整的算法：量子搜索
3 个量子比特有 8 种结果（000 到 111）。把它们想象成 8 个盒子，其中一个藏着答案。普通电脑只能一个个打开检查，平均大约要开一半，也就是 4 个左右。
Grover 搜索算法是这样做的：
准备：对 3 个量子比特各做一次 H 门，得到 8 种结果的均匀叠加。每个振幅都是 0.35（即 1/√8），概率都是 12.5%。
标记：用一个“检查答案”的线路，把答案那一格的振幅变成负数（就像 Z 门）。概率是平方，所以单看这一步，什么都没变。
绕平均值翻转：以所有振幅的平均值为镜子，每一格翻到镜子另一侧，离镜子的距离不变。答案那一格原本远在镜子下方，翻上去就变得最高；其余各格只比镜子高一点，翻下去就变矮。这一步本质上是一次精心设计的干涉。
重复第 2、3 步合适的轮数，然后测量。
你可能会问：能“标记答案”，不就已经知道答案了吗？其实不然。检查一个答案对不对，往往比找到它容易得多。比如数独：检查一份填好的答案是否正确，几秒钟的事；从头解出来就难多了。Grover 算法只需要“会检查”，不需要事先知道答案在哪。
实验 88 个盒子的振幅
答案被测到的概率
12.5%
其他每个盒子
12.5%
已完成轮数
0
答案（真实计算中看不到，这里为了演示标出）负振幅上一步的样子
试一试：按 ①②①② 做两轮，概率升到约 95%。再做第三轮，概率反而掉下去：放大有一个最佳轮数，转过头会转回来。另外，开局不做任何操作直接测量，就是普通的瞎猜。
盒子越多，优势越明显：100 万个盒子，普通方法平均要检查约 50 万次，Grover 大约 800 轮就够（轮数约为盒子数的平方根）。这叫平方级加速，很可观，但并不是“一步就找到”。
要点
Grover 算法 = H 门制造均匀叠加 + 反复“标记、翻转”。每一轮都用干涉把答案的振幅放大一点。它只需要会检查答案，搜索速度提升到平方根级别。
第 9 课 · 走出图纸
真实的量子计算机
量子比特用什么做
任何有两个可以区分的状态、又能维持叠加的微小物理系统，都可以拿来当量子比特。几条主要路线：
超导电路
0 / 1 = 电路的两个能量状态芯片上的微型电路，冷却到比外太空还冷得多的约百分之一开尔文时，电流毫无阻力，表现出量子行为。用微波脉冲来做量子门。
离子阱
0 / 1 = 离子的两个能级用电磁场把单个带电原子悬在真空中，一字排开，再用激光照射来做量子门。
中性原子
0 / 1 = 原子的两个能级用聚焦的激光像镊子一样夹住单个原子，排成阵列，也用激光操作。
光子
0 / 1 = 水平 / 竖直偏振就是第 2、3 课里的偏振。光子跑得快、不怕热，但让两个光子相互作用很难。
难在哪里
太脆弱
量子比特只要和外界发生一点点作用，比如热、振动、杂散的电磁场，叠加和纠缠就会慢慢消散，这叫退相干。计算必须赶在它消散之前做完。
会出错
每个量子门都有一点误差，步骤一多就会累积。解决办法是量子纠错：用许多个物理量子比特合成一个更可靠的“逻辑量子比特”，代价可能是上百甚至上千比 1。
难扩大
量子比特越多，布线、控制和互相干扰的问题就越复杂。比特的数量和质量要同时提高，才能运行真正有用的算法。
擅长什么，不擅长什么
已知有明显优势
- 分解大数：Shor 算法比已知最好的经典方法快得多。如今常用的 RSA 等加密依赖“分解大数很难”，所以密码学界已经在推广能抵御量子计算的新加密方法。
- 模拟分子和材料：自然界本身遵循量子规律，用量子系统去模拟它更自然，有望帮助研究药物、电池和催化剂。
- 搜索类问题：Grover 算法带来平方级加速。
优势有限或尚无定论
- 日常任务：看视频、打字、玩游戏，普通电脑更快、更便宜、更稳定。
- 海量数据处理：把大量数据装进量子比特、再读出来，本身就很慢，往往会吃掉优势。
- 优化与机器学习：研究很多，但能否稳定胜过最好的经典方法，目前还没有定论。
要点
量子计算机更像一种专用工具，而不是更快的电脑。它最大的挑战是让脆弱的量子比特又多、又准、又能坚持足够久。
收尾
常见误解
误解量子计算机同时尝试所有答案，所以什么都算得快。实际叠加里确实有 2ⁿ 个振幅，但测量只给一个结果（第 3、6 课）。只有能设计出巧妙干涉的问题才会变快（第 5、8 课）。
误解叠加就是“不知道它是 0 还是 1”。实际“不知道”是普通的概率，只能相加不能抵消。叠加的振幅带正负号，会发生干涉，这是两者的根本区别（第 1、5 课）。
误解纠缠可以实现超光速通信。实际单独一边看到的永远是随机结果，必须用普通方式对照后才能发现关联（第 7 课）。
误解量子计算机将来会取代手机和电脑。实际它更像专用的协处理器，只在少数问题上有优势，日常计算仍然是普通电脑的天下（第 9 课）。
误解量子比特数量越多，计算机就越强。实际质量同样关键：错误率多低、叠加能保持多久、比特之间能否灵活连接。数量多而错误多，也算不了有用的东西（第 9 课）。
一页回顾
- 01量子比特
- 测量前可以同时带有 0 和 1 的成分。
- 02叠加
- 状态是一根长度为 1 的箭头，影子 a、b 叫振幅，a² + b² = 1。
- 03测量
- 只给出 0 或 1，概率是振幅的平方；测完箭头塌缩。
- 04量子门
- 翻转箭头但不改变长度，可以撤销。振幅可以为负。
- 05干涉
- 振幅沿路径相乘、在终点相加，正负会抵消。这是加速的来源。
- 06多比特
- n 个量子比特有 2ⁿ 个振幅，但测量只给出一个结果。
- 07纠缠
- H + CNOT 让两个量子比特的结果绑在一起，单独看仍随机。
- 08Grover 搜索
- 反复“标记、翻转”，用干涉把答案的概率放大。
说明：为了直观，本页的箭头只画了振幅为实数（正数或负数）的情况。完整描述一个量子比特，振幅一般是复数，要用三维的“布洛赫球”来画；正负号在那里推广成了“相位”。但本页建立的直觉，包括概率是振幅的平方、正负能抵消、测量会塌缩，在完整理论里都同样成立。